\(\int \frac {(A+C \cos ^2(c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx\) [584]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 378 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {b \left (12 A b^6-a^2 b^4 (29 A-2 C)+5 a^4 b^2 (4 A-C)+6 a^6 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^5 d}-\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-b*(12*A*b^6-a^2*b^4*(29*A-2*C)+5*a^4*b^2*(4*A-C)+6*a^6*C)*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/
a^5/(a-b)^(5/2)/(a+b)^(5/2)/d+1/2*(12*A*b^2+a^2*(A+2*C))*arctanh(sin(d*x+c))/a^5/d-1/2*b*(12*A*b^4+a^4*(6*A-5*
C)-a^2*b^2*(21*A-2*C))*tan(d*x+c)/a^4/(a^2-b^2)^2/d+1/2*(6*A*b^4+a^4*(A-4*C)-a^2*b^2*(10*A-C))*sec(d*x+c)*tan(
d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^2/d+1/2*(A*b^2+C*a^2)*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^2+1/2*(7*A*a^2
*b^2-4*A*b^4+3*C*a^4)*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 1.95 (sec) , antiderivative size = 378, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.182, Rules used = {3135, 3134, 3080, 3855, 2738, 211} \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{2 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (a^2 (A+2 C)+12 A b^2\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^5 d}-\frac {b \left (a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)+12 A b^4\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\left (3 a^4 C+7 a^2 A b^2-4 A b^4\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{2 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)+6 A b^4\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {b \left (6 a^6 C+5 a^4 b^2 (4 A-C)-a^2 b^4 (29 A-2 C)+12 A b^6\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}} \]

[In]

Int[((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

-((b*(12*A*b^6 - a^2*b^4*(29*A - 2*C) + 5*a^4*b^2*(4*A - C) + 6*a^6*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/S
qrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + ((12*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^5*
d) - (b*(12*A*b^4 + a^4*(6*A - 5*C) - a^2*b^2*(21*A - 2*C))*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((6*A*b^4
+ a^4*(A - 4*C) - a^2*b^2*(10*A - C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Se
c[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((7*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 + 3*a^4*C)*Sec[c
+ d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3080

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Dist[(B*c - A
*d)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3135

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 + a^2*C))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c
+ d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)),
Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C) + d*(A*b^2 + a^2*C
)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 + a^2*C) + b*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 + a^2*C)*(m + n +
3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && L
tQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\left (-2 \left (2 A b^2-a^2 (A-C)\right )-2 a b (A+C) \cos (c+d x)+3 \left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{2 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (2 \left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right )+a b \left (A b^2-a^2 (4 A+3 C)\right ) \cos (c+d x)+2 \left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (-2 b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right )-2 a \left (2 A b^4-a^2 b^2 (4 A+C)-a^4 (A+2 C)\right ) \cos (c+d x)+2 b \left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (2 \left (a^2-b^2\right )^2 \left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right )+2 a b \left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos (c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (b \left (12 A b^6-a^2 b^4 (29 A-2 C)+5 a^4 b^2 (4 A-C)+6 a^6 C\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \int \sec (c+d x) \, dx}{2 a^5} \\ & = \frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^5 d}-\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (b \left (12 A b^6-a^2 b^4 (29 A-2 C)+5 a^4 b^2 (4 A-C)+6 a^6 C\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^5 \left (a^2-b^2\right )^2 d} \\ & = -\frac {b \left (20 a^4 A b^2-29 a^2 A b^4+12 A b^6+6 a^6 C-5 a^4 b^2 C+2 a^2 b^4 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^5 d}-\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(856\) vs. \(2(378)=756\).

Time = 8.55 (sec) , antiderivative size = 856, normalized size of antiderivative = 2.26 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {2 b \left (20 a^4 A b^2-29 a^2 A b^4+12 A b^6+6 a^6 C-5 a^4 b^2 C+2 a^2 b^4 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right ) \cos ^2(c+d x) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right )}{a^5 \left (a^2-b^2\right )^2 \sqrt {-a^2+b^2} d (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x))}+\frac {\left (-a^2 A-12 A b^2-2 a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right ) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right )}{a^5 d (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x))}+\frac {\left (a^2 A+12 A b^2+2 a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right ) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right )}{a^5 d (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x))}+\frac {A \cos ^2(c+d x) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right )}{2 a^3 d (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x)) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )^2}-\frac {6 A b \cos ^2(c+d x) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right ) \sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{a^4 d (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x)) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}-\frac {A \cos ^2(c+d x) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right )}{2 a^3 d (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x)) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )^2}-\frac {6 A b \cos ^2(c+d x) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right ) \sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{a^4 d (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x)) \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}+\frac {\cos ^2(c+d x) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right ) \left (A b^4 \sin (c+d x)+a^2 b^2 C \sin (c+d x)\right )}{a^3 (a-b) (a+b) d (a+b \cos (c+d x))^2 (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x))}+\frac {\cos ^2(c+d x) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right ) \left (9 a^2 A b^4 \sin (c+d x)-6 A b^6 \sin (c+d x)+5 a^4 b^2 C \sin (c+d x)-2 a^2 b^4 C \sin (c+d x)\right )}{a^4 (a-b)^2 (a+b)^2 d (a+b \cos (c+d x)) (2 A+C+C \cos (2 c+2 d x))} \]

[In]

Integrate[((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

(2*b*(20*a^4*A*b^2 - 29*a^2*A*b^4 + 12*A*b^6 + 6*a^6*C - 5*a^4*b^2*C + 2*a^2*b^4*C)*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c +
d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]*Cos[c + d*x]^2*(C + A*Sec[c + d*x]^2))/(a^5*(a^2 - b^2)^2*Sqrt[-a^2 + b^2]*d*(2*A +
C + C*Cos[2*c + 2*d*x])) + ((-(a^2*A) - 12*A*b^2 - 2*a^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(c + d*
x)/2]]*(C + A*Sec[c + d*x]^2))/(a^5*d*(2*A + C + C*Cos[2*c + 2*d*x])) + ((a^2*A + 12*A*b^2 + 2*a^2*C)*Cos[c +
d*x]^2*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]]*(C + A*Sec[c + d*x]^2))/(a^5*d*(2*A + C + C*Cos[2*c + 2*d*x]))
+ (A*Cos[c + d*x]^2*(C + A*Sec[c + d*x]^2))/(2*a^3*d*(2*A + C + C*Cos[2*c + 2*d*x])*(Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(
c + d*x)/2])^2) - (6*A*b*Cos[c + d*x]^2*(C + A*Sec[c + d*x]^2)*Sin[(c + d*x)/2])/(a^4*d*(2*A + C + C*Cos[2*c +
2*d*x])*(Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(c + d*x)/2])) - (A*Cos[c + d*x]^2*(C + A*Sec[c + d*x]^2))/(2*a^3*d*(2*A + C
+ C*Cos[2*c + 2*d*x])*(Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2])^2) - (6*A*b*Cos[c + d*x]^2*(C + A*Sec[c + d*x]^2)*
Sin[(c + d*x)/2])/(a^4*d*(2*A + C + C*Cos[2*c + 2*d*x])*(Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2])) + (Cos[c + d*x]
^2*(C + A*Sec[c + d*x]^2)*(A*b^4*Sin[c + d*x] + a^2*b^2*C*Sin[c + d*x]))/(a^3*(a - b)*(a + b)*d*(a + b*Cos[c +
d*x])^2*(2*A + C + C*Cos[2*c + 2*d*x])) + (Cos[c + d*x]^2*(C + A*Sec[c + d*x]^2)*(9*a^2*A*b^4*Sin[c + d*x] -
6*A*b^6*Sin[c + d*x] + 5*a^4*b^2*C*Sin[c + d*x] - 2*a^2*b^4*C*Sin[c + d*x]))/(a^4*(a - b)^2*(a + b)^2*d*(a + b
*Cos[c + d*x])*(2*A + C + C*Cos[2*c + 2*d*x]))

Maple [A] (verified)

Time = 4.35 (sec) , antiderivative size = 458, normalized size of antiderivative = 1.21

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {2 b \left (\frac {-\frac {\left (10 A \,a^{2} b^{2}+A a \,b^{3}-6 A \,b^{4}+6 C \,a^{4}+C \,a^{3} b -2 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {b a \left (10 A \,a^{2} b^{2}-A a \,b^{3}-6 A \,b^{4}+6 C \,a^{4}-C \,a^{3} b -2 C \,a^{2} b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}-29 A \,a^{2} b^{4}+12 A \,b^{6}+6 C \,a^{6}-5 C \,a^{4} b^{2}+2 C \,a^{2} b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{5}}-\frac {A}{2 a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )^{2}}+\frac {\left (A \,a^{2}+12 A \,b^{2}+2 a^{2} C \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{2 a^{5}}+\frac {A \left (a +6 b \right )}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {A}{2 a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )^{2}}+\frac {\left (-A \,a^{2}-12 A \,b^{2}-2 a^{2} C \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{2 a^{5}}+\frac {A \left (a +6 b \right )}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}}{d}\)	\(458\)
default	\(\frac {-\frac {2 b \left (\frac {-\frac {\left (10 A \,a^{2} b^{2}+A a \,b^{3}-6 A \,b^{4}+6 C \,a^{4}+C \,a^{3} b -2 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {b a \left (10 A \,a^{2} b^{2}-A a \,b^{3}-6 A \,b^{4}+6 C \,a^{4}-C \,a^{3} b -2 C \,a^{2} b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}-29 A \,a^{2} b^{4}+12 A \,b^{6}+6 C \,a^{6}-5 C \,a^{4} b^{2}+2 C \,a^{2} b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{5}}-\frac {A}{2 a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )^{2}}+\frac {\left (A \,a^{2}+12 A \,b^{2}+2 a^{2} C \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{2 a^{5}}+\frac {A \left (a +6 b \right )}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {A}{2 a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )^{2}}+\frac {\left (-A \,a^{2}-12 A \,b^{2}-2 a^{2} C \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{2 a^{5}}+\frac {A \left (a +6 b \right )}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}}{d}\)	\(458\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2026\)

[In]

int((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^3/(a+cos(d*x+c)*b)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(-2*b/a^5*((-1/2*(10*A*a^2*b^2+A*a*b^3-6*A*b^4+6*C*a^4+C*a^3*b-2*C*a^2*b^2)*a*b/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(
1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*b*a*(10*A*a^2*b^2-A*a*b^3-6*A*b^4+6*C*a^4-C*a^3*b-2*C*a^2*b^2)/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+
1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^2+1/2*(20*A*a^4*b^2-29*A*a^2*b^4+12*A*b^6+6*C*a^6-
5*C*a^4*b^2+2*C*a^2*b^4)/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))
^(1/2)))-1/2*A/a^3/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)^2+1/2*(A*a^2+12*A*b^2+2*C*a^2)/a^5*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/2*A*(a
+6*b)/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/2*A/a^3/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)^2+1/2/a^5*(-A*a^2-12*A*b^2-2*C*a^2)*ln(tan(1
/2*d*x+1/2*c)-1)+1/2*A*(a+6*b)/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1005 vs. \(2 (359) = 718\).

Time = 18.87 (sec) , antiderivative size = 2078, normalized size of antiderivative = 5.50 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/4*(((6*C*a^6*b^3 + 5*(4*A - C)*a^4*b^5 - (29*A - 2*C)*a^2*b^7 + 12*A*b^9)*cos(d*x + c)^4 + 2*(6*C*a^7*b^2
+ 5*(4*A - C)*a^5*b^4 - (29*A - 2*C)*a^3*b^6 + 12*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^3 + (6*C*a^8*b + 5*(4*A - C)*a^6*b^3 -
(29*A - 2*C)*a^4*b^5 + 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)
*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*
a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - (((A + 2*C)*a^8*b^2 + 3*(3*A - 2*C)*a^6*b^4 - 3*(11*A - 2*C)*a^4*b^6 + (35*A - 2*C)
*a^2*b^8 - 12*A*b^10)*cos(d*x + c)^4 + 2*((A + 2*C)*a^9*b + 3*(3*A - 2*C)*a^7*b^3 - 3*(11*A - 2*C)*a^5*b^5 + (
35*A - 2*C)*a^3*b^7 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + ((A + 2*C)*a^10 + 3*(3*A - 2*C)*a^8*b^2 - 3*(11*A - 2*C)*a^
6*b^4 + (35*A - 2*C)*a^4*b^6 - 12*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2)*log(sin(d*x + c) + 1) + (((A + 2*C)*a^8*b^2 + 3*(
3*A - 2*C)*a^6*b^4 - 3*(11*A - 2*C)*a^4*b^6 + (35*A - 2*C)*a^2*b^8 - 12*A*b^10)*cos(d*x + c)^4 + 2*((A + 2*C)*
a^9*b + 3*(3*A - 2*C)*a^7*b^3 - 3*(11*A - 2*C)*a^5*b^5 + (35*A - 2*C)*a^3*b^7 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (
(A + 2*C)*a^10 + 3*(3*A - 2*C)*a^8*b^2 - 3*(11*A - 2*C)*a^6*b^4 + (35*A - 2*C)*a^4*b^6 - 12*A*a^2*b^8)*cos(d*x
+ c)^2)*log(-sin(d*x + c) + 1) - 2*(A*a^10 - 3*A*a^8*b^2 + 3*A*a^6*b^4 - A*a^4*b^6 - ((6*A - 5*C)*a^7*b^3 - (
27*A - 7*C)*a^5*b^5 + (33*A - 2*C)*a^3*b^7 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 - ((11*A - 6*C)*a^8*b^2 - (43*A - 9*C)
*a^6*b^4 + (50*A - 3*C)*a^4*b^6 - 18*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2 - 4*(A*a^9*b - 3*A*a^7*b^3 + 3*A*a^5*b^5 - A*a^
3*b^7)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^11*b^2 - 3*a^9*b^4 + 3*a^7*b^6 - a^5*b^8)*d*cos(d*x + c)^4 + 2*(a^12*b
- 3*a^10*b^3 + 3*a^8*b^5 - a^6*b^7)*d*cos(d*x + c)^3 + (a^13 - 3*a^11*b^2 + 3*a^9*b^4 - a^7*b^6)*d*cos(d*x + c
)^2), -1/4*(2*((6*C*a^6*b^3 + 5*(4*A - C)*a^4*b^5 - (29*A - 2*C)*a^2*b^7 + 12*A*b^9)*cos(d*x + c)^4 + 2*(6*C*a
^7*b^2 + 5*(4*A - C)*a^5*b^4 - (29*A - 2*C)*a^3*b^6 + 12*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^3 + (6*C*a^8*b + 5*(4*A - C)*a^
6*b^3 - (29*A - 2*C)*a^4*b^5 + 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqr
t(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - (((A + 2*C)*a^8*b^2 + 3*(3*A - 2*C)*a^6*b^4 - 3*(11*A - 2*C)*a^4*b^6 + (35*A - 2
*C)*a^2*b^8 - 12*A*b^10)*cos(d*x + c)^4 + 2*((A + 2*C)*a^9*b + 3*(3*A - 2*C)*a^7*b^3 - 3*(11*A - 2*C)*a^5*b^5
+ (35*A - 2*C)*a^3*b^7 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + ((A + 2*C)*a^10 + 3*(3*A - 2*C)*a^8*b^2 - 3*(11*A - 2*C)
*a^6*b^4 + (35*A - 2*C)*a^4*b^6 - 12*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2)*log(sin(d*x + c) + 1) + (((A + 2*C)*a^8*b^2 +
3*(3*A - 2*C)*a^6*b^4 - 3*(11*A - 2*C)*a^4*b^6 + (35*A - 2*C)*a^2*b^8 - 12*A*b^10)*cos(d*x + c)^4 + 2*((A + 2*
C)*a^9*b + 3*(3*A - 2*C)*a^7*b^3 - 3*(11*A - 2*C)*a^5*b^5 + (35*A - 2*C)*a^3*b^7 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3
+ ((A + 2*C)*a^10 + 3*(3*A - 2*C)*a^8*b^2 - 3*(11*A - 2*C)*a^6*b^4 + (35*A - 2*C)*a^4*b^6 - 12*A*a^2*b^8)*cos(
d*x + c)^2)*log(-sin(d*x + c) + 1) - 2*(A*a^10 - 3*A*a^8*b^2 + 3*A*a^6*b^4 - A*a^4*b^6 - ((6*A - 5*C)*a^7*b^3
- (27*A - 7*C)*a^5*b^5 + (33*A - 2*C)*a^3*b^7 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 - ((11*A - 6*C)*a^8*b^2 - (43*A - 9
*C)*a^6*b^4 + (50*A - 3*C)*a^4*b^6 - 18*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2 - 4*(A*a^9*b - 3*A*a^7*b^3 + 3*A*a^5*b^5 - A
*a^3*b^7)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^11*b^2 - 3*a^9*b^4 + 3*a^7*b^6 - a^5*b^8)*d*cos(d*x + c)^4 + 2*(a^12
*b - 3*a^10*b^3 + 3*a^8*b^5 - a^6*b^7)*d*cos(d*x + c)^3 + (a^13 - 3*a^11*b^2 + 3*a^9*b^4 - a^7*b^6)*d*cos(d*x
+ c)^2)]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)**2)*sec(d*x+c)**3/(a+b*cos(d*x+c))**3,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1191 vs. \(2 (359) = 718\).

Time = 0.37 (sec) , antiderivative size = 1191, normalized size of antiderivative = 3.15 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*(6*C*a^6*b + 20*A*a^4*b^3 - 5*C*a^4*b^3 - 29*A*a^2*b^5 + 2*C*a^2*b^5 + 12*A*b^7)*(pi*floor(1/2*(d*x + c
)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^
9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*sqrt(a^2 - b^2)) + 2*(A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7
- 13*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 6*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
^7 - 5*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 33*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 3*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*
c)^7 - 17*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2
*c)^7 + 12*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 3*A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 +
5*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 26*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5
+ 15*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 29*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 3*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
^5 + 67*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c
)^5 - 36*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 3*A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 5*
A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 6*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 26*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 -
15*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 29*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3
- 67*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 6*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^
3 + 36*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 13*A*a^5*b
^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 5*C*a^4*b^3*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c) + 33*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 3*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 17*A*a^2*b^5*tan(1
/2*d*x + 1/2*c) - 2*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 12*A*b^7*tan(1/2*d*x +
1/2*c))/((a^8 - 2*a^6*b^2 + a^4*b^4)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 + 2*b*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^2 - a - b)^2) + (A*a^2 + 2*C*a^2 + 12*A*b^2)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/a^5 - (A*a^2 + 2*C*a^2
+ 12*A*b^2)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 1))/a^5)/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 15.59 (sec) , antiderivative size = 10422, normalized size of antiderivative = 27.57 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + C*cos(c + d*x)^2)/(cos(c + d*x)^3*(a + b*cos(c + d*x))^3),x)

[Out]

- ((tan(c/2 + (d*x)/2)*(12*A*b^6 - A*a^6 - 23*A*a^2*b^4 - 10*A*a^3*b^3 + 8*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 + C*a^3*b^3
- 6*C*a^4*b^2 + 6*A*a*b^5 + 5*A*a^5*b))/((a + b)*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(3*A*a^7
+ 36*A*b^7 - 67*A*a^2*b^5 - 29*A*a^3*b^4 + 26*A*a^4*b^3 + 5*A*a^5*b^2 + 6*C*a^2*b^5 + 3*C*a^3*b^4 - 15*C*a^4*b
^3 - 6*C*a^5*b^2 + 18*A*a*b^6 - 4*A*a^6*b))/((a + b)^2*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(3*A
*a^7 - 36*A*b^7 + 67*A*a^2*b^5 - 29*A*a^3*b^4 - 26*A*a^4*b^3 + 5*A*a^5*b^2 - 6*C*a^2*b^5 + 3*C*a^3*b^4 + 15*C*
a^4*b^3 - 6*C*a^5*b^2 + 18*A*a*b^6 + 4*A*a^6*b))/((a + b)^2*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^7
*(A*a^6 - 12*A*b^6 + 23*A*a^2*b^4 - 10*A*a^3*b^3 - 8*A*a^4*b^2 - 2*C*a^2*b^4 + C*a^3*b^3 + 6*C*a^4*b^2 + 6*A*a
*b^5 + 5*A*a^5*b))/((a^4*b - a^5)*(a + b)^2))/(d*(2*a*b - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(2*a^2 - 6*b^2) - tan(c/2 + (d*
x)/2)^2*(4*a*b + 4*b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a*b - 4*b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(a^2 - 2*a*b + b^2) + a^
2 + b^2)) - (atan((((6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 2
88*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538
*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2
*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^
6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*
a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*
a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 -
a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + ((6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((4*(4*A*a^21 + 8*C*
a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 2
76*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 -
8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 -
a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*A*b^2 + a
^2*(A/2 + C))*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 3
2*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*
a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))))/a^5)*1i)/a^5 + ((6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2
*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 15
38*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74
*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a
^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 -
8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*
A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14
*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - ((6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C)
)*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^
7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13
*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^2
0*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (8*tan(c/2 +
(d*x)/2)*(6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14
*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10
*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))))/a^5)*1i)/a^5)/((8*(1728*A^3*b^15 - 864*A^3*a*b^14 + 24*C^3*a^1
4*b - 7344*A^3*a^2*b^13 + 3456*A^3*a^3*b^12 + 11700*A^3*a^4*b^11 - 4770*A^3*a^5*b^10 - 7829*A^3*a^6*b^9 + 2326
*A^3*a^7*b^8 + 1314*A^3*a^8*b^7 - 11*A^3*a^9*b^6 + 411*A^3*a^10*b^5 - 20*A^3*a^11*b^4 + 20*A^3*a^12*b^3 + 8*C^
3*a^6*b^9 - 4*C^3*a^7*b^8 - 36*C^3*a^8*b^7 + 26*C^3*a^9*b^6 + 72*C^3*a^10*b^5 - 52*C^3*a^11*b^4 - 68*C^3*a^12*
b^3 + 48*C^3*a^13*b^2 + 24*A*C^2*a^14*b + 6*A^2*C*a^14*b + 144*A*C^2*a^4*b^11 - 72*A*C^2*a^5*b^10 - 636*A*C^2*
a^6*b^9 + 408*A*C^2*a^7*b^8 + 1188*A*C^2*a^8*b^7 - 747*A*C^2*a^9*b^6 - 1020*A*C^2*a^10*b^5 + 552*A*C^2*a^11*b^
4 + 300*A*C^2*a^12*b^3 + 12*A*C^2*a^13*b^2 + 864*A^2*C*a^2*b^13 - 432*A^2*C*a^3*b^12 - 3744*A^2*C*a^4*b^11 + 2
088*A^2*C*a^5*b^10 + 6486*A^2*C*a^6*b^9 - 3405*A^2*C*a^7*b^8 - 4977*A^2*C*a^8*b^7 + 1974*A^2*C*a^9*b^6 + 1158*
A^2*C*a^10*b^5 + 33*A^2*C*a^11*b^4 + 207*A^2*C*a^12*b^3 - 6*A^2*C*a^13*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*
b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + ((6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(
A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104
*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 10
8*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*
a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b
^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*
A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*
C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + ((6*A*b
^2 + a^2*(A/2 + C))*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b
^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a
^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a
^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b
^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*
a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7
- a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))))/a^5))/a^5 - ((6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((8*t
an(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*
A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 +
18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^
2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*
b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376
*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A
*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*
a^13*b^2) - ((6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12
*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28
*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*
C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*
a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9
+ 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*
b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))))/a^5))/a^5))*(6*A*b^2 + a^
2*(A/2 + C))*2i)/(a^5*d) - (b*atan(((b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*
a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^
5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b
^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*
C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^1
2 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6
+ 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6
+ 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (b*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^
21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276
*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8
*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a
^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*
(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*(8*a^19*b - 8*
a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8
*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 -
a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b
^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(-
(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*1i)/
(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)) + (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^1
4 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^
3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a
^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8
+ 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*
A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6
*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*
b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (b*(-(a + b)^5
*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8
- 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^1
2*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^1
9*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2
) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2
*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*
a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 -
5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(12*A*b
^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*
a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a
^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*1i)/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^
2)))/((8*(1728*A^3*b^15 - 864*A^3*a*b^14 + 24*C^3*a^14*b - 7344*A^3*a^2*b^13 + 3456*A^3*a^3*b^12 + 11700*A^3*a
^4*b^11 - 4770*A^3*a^5*b^10 - 7829*A^3*a^6*b^9 + 2326*A^3*a^7*b^8 + 1314*A^3*a^8*b^7 - 11*A^3*a^9*b^6 + 411*A^
3*a^10*b^5 - 20*A^3*a^11*b^4 + 20*A^3*a^12*b^3 + 8*C^3*a^6*b^9 - 4*C^3*a^7*b^8 - 36*C^3*a^8*b^7 + 26*C^3*a^9*b
^6 + 72*C^3*a^10*b^5 - 52*C^3*a^11*b^4 - 68*C^3*a^12*b^3 + 48*C^3*a^13*b^2 + 24*A*C^2*a^14*b + 6*A^2*C*a^14*b
+ 144*A*C^2*a^4*b^11 - 72*A*C^2*a^5*b^10 - 636*A*C^2*a^6*b^9 + 408*A*C^2*a^7*b^8 + 1188*A*C^2*a^8*b^7 - 747*A*
C^2*a^9*b^6 - 1020*A*C^2*a^10*b^5 + 552*A*C^2*a^11*b^4 + 300*A*C^2*a^12*b^3 + 12*A*C^2*a^13*b^2 + 864*A^2*C*a^
2*b^13 - 432*A^2*C*a^3*b^12 - 3744*A^2*C*a^4*b^11 + 2088*A^2*C*a^5*b^10 + 6486*A^2*C*a^6*b^9 - 3405*A^2*C*a^7*
b^8 - 4977*A^2*C*a^8*b^7 + 1974*A^2*C*a^9*b^6 + 1158*A^2*C*a^10*b^5 + 33*A^2*C*a^11*b^4 + 207*A^2*C*a^12*b^3 -
6*A^2*C*a^13*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2)
- (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13
*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*
a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b
^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32
*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*
b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*
b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^1
2*b^3 - 3*a^13*b^2) - (b*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^
10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*
A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C
*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 +
3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a
^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b
^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*
a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4
- 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(
2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b
^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*
a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)) + (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A
^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2
*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^1
1*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 -
48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*
b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*
b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*
b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (b*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(4*A*a^21 + 8*C
*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 +
276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7
- 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19
- a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)
^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*(8*a^19*b -
8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3
- 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7
- a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^
4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))
*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/
(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2))))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A
*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*1i)/(d*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8
- 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2))